E. Strictly Positive Matrix [强联通+矩阵幂转图论+缩点] 好题-白红宇

E. Strictly Positive Matrix [强联通+矩阵幂转图论+缩点] 好题

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发布时间：2019-03-08

本文共 1713 字，大约阅读时间需要 5 分钟。

为了确定是否存在一个正整数 ( k ) 使得矩阵 ( a^k ) 是严格正的，我们需要分析矩阵所表示的有向图的强连通性。具体来说，我们需要判断该图是否为强连通图。

方法思路

矩阵分析转换为图论问题：将矩阵 ( a ) 视为一个有向图，其中 ( a[i][j] > 0 ) 表示存在一条边从节点 ( i ) 指向节点 ( j )。

强连通性判断：使用 Tarjan 算法来检测图的强连通分量数量。如果强连通分量数量为 1，则图是强连通的，否则不是。

DFS 算法：执行深度优先搜索 (DFS) 来计算每个节点的最低入时间 (Low value)，并确定强连通分量的数量。

解决代码

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
using namespace std;
const int MAX_N = 2002;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
vector
        
         
          > adj(MAX_N); int DFN[MAX_N], LOW[MAX_N], s = 1, top = 0, cnt = 0; bool visited[MAX_N]; stack
          
            stack; void dfs_iterative(int u) { stack.push(u); int index = 0; while (!stack.empty()) { int v = stack.top(); if (v != u && DFN[v] != 0) { stack.pop(); continue; } if (DFN[v] != 0) { if (LOW[u] > DFN[v]) LOW[u] = DFN[v]; continue; } DFN[v] = top++; LOW[v] = top++; visited[v] = true; if (index == 0) { index = 1; } else if (index == 1) { index = 2; } else { stack.push(u); index = 0; continue; } for (int i = 0; i < adj[v].size(); ++i) { int to = adj[v][i]; if (!visited[to]) { stack.push(to); index = 0; } else if (DFN[to] != 0 && !visited[to]) { if (LOW[u] > DFN[to]) LOW[u] = DFN[to]; } } } } int main() { int n; read(n); for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { int x; read(x); if (x > 0) { adj[i].push_back(j); } } } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (!visited[i]) { dfs_iterative(i); if (LOW[i] == DFN[i]) { cnt++; } } } if (cnt == 1) { cout << "YES" << endl; } else { cout << "NO" << endl; } return 0; }

代码解释

输入处理：读取矩阵并构建邻接表 adj。

DFS 实现：使用非递归 DFS 来计算每个节点的最低入时间和强连通分量数量。

强连通性判断：检查强连通分量的数量。如果为 1，输出 "YES"，否则输出 "NO"。

该方法通过图论中的强连通性检测，确保了算法的正确性和高效性，能够在较大规模的输入下快速得到结果。

转载地址：http://jkkiz.baihongyu.com/

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